Il coefficiente multinomiale è una estensione del coefficiente binomiale .
Per numeri interi non negativi
n
,
k
1
,
.
.
.
,
k
r
{\displaystyle n,k_{1},...,k_{r}}
k
1
+
.
.
.
+
k
r
=
n
{\displaystyle k_{1}+...+k_{r}=n}
(
n
k
1
,
…
,
k
r
)
:=
n
!
k
1
!
⋅
⋯
⋅
k
r
!
{\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{r}}:={\frac {n!}{k_{1}!\cdot \dots \cdot k_{r}!}}}
che è sempre un numero naturale .
Teorema multinomiale
Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale :
(
x
1
+
…
+
x
r
)
n
=
∑
k
1
+
…
+
k
r
=
n
(
n
k
1
,
…
,
k
r
)
⋅
x
1
k
1
⋯
x
r
k
r
.
{\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{r}^{k_{r}}.}
ovvero
(
x
1
+
…
+
x
r
)
n
=
∑
k
1
+
…
+
k
r
=
n
n
!
⋅
∏
i
=
1
r
x
i
k
i
⋅
1
k
i
!
{\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}}\cdot {\frac {1}{k_{i}!}}}}
dove
∑
k
1
+
…
+
k
r
=
n
{\displaystyle \sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}}
n .
notazione multi-indice :
(
x
1
+
…
+
x
r
)
n
=
∑
|
α
|
=
n
n
!
α
!
x
α
{\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}^{}{{\frac {n!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}
con
|
α
|
=
α
1
+
α
2
+
…
+
α
n
{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
x
α
=
x
1
α
1
x
2
α
2
…
x
n
α
n
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}
Applicazioni
Il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di n oggetti, di cui k 1 uguali tra loro, k 2 uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi k i essere uguale ad 1 ed avendosi così k 1 + k 2 + ... + k r = n .
Il coefficiente multinomiale viene usato, inoltre, nella definizione della variabile casuale multinomiale :
P
(
X
1
=
k
1
,
X
2
=
k
2
,
…
,
X
r
=
k
r
)
=
(
n
k
1
,
…
,
k
r
)
⋅
p
1
k
1
⋅
p
2
k
2
⋅
.
.
.
⋅
p
r
k
r
,
{\displaystyle P(X_{1}=k_{1},\,X_{2}=k_{2},\,\dots \,,X_{r}=k_{r})\;=\;{n \choose k_{1},\dots ,k_{r}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot ...\cdot p_{r}^{k_{r}},}
una variabile casuale discreta .
Esempio
Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco Skat ).
Quanti sono questi modi? La risposta si trova nel coefficiente multinomiale:
(
32
10
,
10
,
10
,
2
)
=
32
!
10
!
⋅
10
!
⋅
10
!
⋅
2
!
=
2.753.294.408.504.640
{\displaystyle {32 \choose 10,\,10,\,10,\,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640}
Voci correlate 
