Risposta in frequenza

La risposta in frequenza è un potente strumento per caratterizzare il comportamento di un sistema (meccanico, elettrico, ottico, ecc.) lineare, sottoposto a sollecitazioni variabili nel tempo.

Il concetto base consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita del sistema, quando la sollecitazione applicata e la risposta (uscita) sono variabili nel tempo. Dato che qualsiasi segnale d'ingresso periodico può essere scomposto in una serie di sinusoidi di frequenze diverse, se si conosce l'insieme delle risposte alle varie frequenze in ampiezza e fase, è possibile ricostruire il segnale d'uscita senza dover effettuare calcoli specifici per ognuno degli infiniti tipi di forme d'onda di ingresso.

Funzione di trasferimento di sistemi lineari e stazionari

  Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di rete.

Dalla teoria sviluppata nei sistemi lineari e stazionari abbiamo visto che in generale:

(1)${\displaystyle u_{out}(t)=\mathbf {Z} u_{in}(t)}$ 

dove ${\displaystyle u_{in},u_{out}}$  sono, rispettivamente, la sollecitazione (che nel caso che ci interessa è un segnale di qualsivoglia forma) e la risposta del sistema a tale sollecitazione, mentre l'operatore ${\displaystyle \mathbf {Z} }$  rappresenta l'insieme delle operazioni che il sistema compie sul segnale di ingresso. Se invece che un operatore qualsiasi il sistema lascia inalterato il segnale di ingresso a meno di un fattore costante abbiamo:

(2)${\displaystyle u_{out}(t)=\alpha u_{in}(t)}$ 

dove il fattore costante ${\displaystyle \alpha }$  è detto autovalore dell'operatore ${\displaystyle \mathbf {Z} }$  e quindi ${\displaystyle u_{in}(t)}$  è la relativa autofunzione.

Ebbene nei sistemi lineari e stazionari le funzioni armoniche sono le autofunzioni e l'autovalore è la funzione:

(3)${\displaystyle k(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\cdot h(t)\,dt}$ 

detta funzione di trasferimento. La risposta in frequenza di un sistema lineare e stazionario ${\displaystyle k(i\omega )}$  è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva. Quindi la risposta impulsiva e quella in frequenza sono una la trasformata dell'altra:

(4)${\displaystyle k(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\cdot h(t)\,dt}$ 

(5)${\displaystyle h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }k(i\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }$ 

Quindi un sistema lineare e stazionario può essere studiato nel dominio del tempo attraverso la rappresentazione dinamica dei segnali cioè tramite la risposta all'impulso o al gradino unitario come visto nei sistemi lineari e stazionari oppure può essere studiato nel dominio della frequenza sulla base della risposta in frequenza.

Funzione di trasferimento per sistemi dinamici lineari

  Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di trasferimento e Sistemi lineari dinamici.

Abbiamo visto dalla teoria sui sistemi lineari dinamici, ${\displaystyle u_{in}(t)}$  è un segnale generico in ingresso ad un sistema, la sua risposta può esser scritta nel caso più generale:

(1)${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}u_{out}(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}u_{out}(t)+\dots +a_{0}u_{out}(t)=b_{m}{\frac {d^{m}}{dt^{m}}}u_{in}(t)+b_{m-1}{\frac {d^{m-1}}{dt^{m-1}}}u_{in}(t)+\dots +b_{0}u_{in}(t)}$ 

che rappresenta a sua volta il modello AutoRegressivo a Media Mobile (ARMA) del sistema che lega l'ingresso e le sue derivate con le uscite e le sue derivate.

La funzione di trasferimento è data:

${\displaystyle k(i\omega )={\frac {b_{m}(i\omega )^{m}+b_{m-1}(i\omega )^{m-1}+\dots +b_{0}}{a_{n}(i\omega )^{n}+a_{n-1}(i\omega )^{n-1}+\dots +a_{0}}}}$ 

cioè la risposta in frequenza per qualsiasi sistema dinamico lineare è una funzione razionale di ${\displaystyle i\omega }$  con coefficienti uguali al sistema (1). La risposta in frequenza di un sistema dinamico lineare può essere eseguita attraverso le risposte del sistema agli impulsi elementari quali la delta di Dirac o la funzione gradino di Heaviside nel dominio del tempo, oppure attraverso le funzioni di rete cioè la funzione di trasferimento o la funzione impedenza e funzione ammettenza nel dominio della frequenza attraverso il metodo simbolico che fa uso della trasformata di Fourier o con il metodo operatoriale che fa uso della trasformata di Laplace.

La Risposta in Frequenza W(j*w) altro non è quindi che la funzione di trasferimento del sistema espressa nel dominio di Fourier della variabile 'omega (pulsazione) ovvero è quella funzione che applicata (in modulo e fase) ad ingressi di tipo armonico restituisce l'uscita del sistema tramite il 'Teorema della Risposta Armonica'; tale funzione si ottiene direttamente dalla funzione di trasferimento nella variabile di Laplace sostituendo alla variabile complessa s=a+jb la variabile jw ovvero prendendo la sola parte immaginaria:

${\displaystyle \ W(jw)=F(s)|s=jw}$ 

Analisi nel campo reale

Con segnali periodici sinusoidali

Il comportamento del sistema viene analizzato applicando dei segnali sinusoidali di tutte le frequenze comprese tra zero ed infinito. Nota la risposta del sistema a segnali sinusoidali di frequenza qualsiasi, è possibile risalire alla risposta ad un segnale periodico non sinusoidale. Applicando ad un sistema stabile, con legame tra ingresso ed uscita rappresentato da una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, un segnale sinusoidale e(t)=E_m senωt, svanito il periodo transitorio, il segnale d'uscita risulta sinusoidale, della stessa frequenza di quello d'ingresso e del tipo u(t)=U_msen(ωt+φ). L'ampiezza U_m e lo sfasamento φ, sono generalmente , funzioni della frequenza: U_m(ω), φ(ω). La risposta in uscita del sistema è della stessa forma del segnale d'entrata, della stessa frequenza e vi si differenzia nell'ampiezza e nella fase. Il rapporto delle ampiezze è detto guadagno, il cui valore è funzione della frequenza d'eccitazione.

Con segnali periodici non sinusoidali

La determinazione della risposta ad un segnale periodico di forma qualsiasi è assicurata dallo sviluppo in serie di Fourier del segnale medesimo:

${\displaystyle e(t)=A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(A_{n}\cos n\omega _{0}t+B_{n}\sin n\omega _{0}t)}$ 

Le seguenti espressioni forniscono i valori di A₀, A_n e B_n:

${\displaystyle A_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{e(t)dt}}$ 

${\displaystyle A_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{e(t)\cos {n\omega _{0}tdt}}}$ 

${\displaystyle B_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{e(t)\sin {n\omega _{0}tdt}}}$ 

Con segnali aperiodici

Nello studio dei sistemi dinamici e delle equazioni differenziali che li descrivono, spesso si fa ricorso a segnali di una particolare famiglia di funzioni. Di questa famiglia le tre funzioni più usate sono la funzione scalino unitario, la funzione impulso unitario, la funzione rampa unitaria. Il problema è risolto facendo ricorso all'integrale di Fourier (antitrasformata di Fourier):

${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega _{n})e^{j\omega _{n}t}d\omega _{n}}$ 

Qualsiasi grandezza variabile in funzione del tempo può scriversi quindi nella suddetta forma.

Analisi nel campo complesso

La trasformata di Laplace

  Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Laplace.

Difficoltà operazionali connaturali alla analisi nel dominio dei numeri reali, hanno dato l'abbrivio all'analisi nel dominio dei numeri complessi. La trasformata di Laplace è una operazione che si esegue sulle funzioni di variabile reale per trasformarle in funzioni di variabile complessa. Tale trasformazione conduce a notevoli semplificazioni nei calcoli, in quanto, a operazioni di natura infinitesimale corrispondono nelle funzioni trasformate a operazioni di tipo algebrico. Eseguite le operazioni su queste ultime, si procede al ricupero della funzione nel campo reale attraverso opportuna antitrasformazione. Entrambe le operazioni vengono normalmente eseguite con l'aiuto di apposite tabelle, data la corrispondenza biunivoca fra una funzione e la sua trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace L[f(t)] di una f(t) risulta definibile come segue

${\displaystyle L[f(t)]=F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$ 

Applicazioni della trasformata di Laplace

Per affrontare l'analisi di un sistema dinamici è necessario disporre di una descrizione matematica del comportamento del sistema stesso, cioè di disporre del suo modello matematico: sistemi analoghi sono quelli che sono descritti dallo stesso modello matematico. È evidente che i modelli risulteranno differenziati nei loro parametri, le cui dimensioni e valori dipendono dalla natura del sistema e delle unità costituenti. L'analisi del sistema si adempie tramite l'analisi della soluzione di una equazione differenziale che risulta agevolata dall'impiego della trasformata di Laplace. L'analisi transitoria del comportamento di un circuito elettrico, costituito da una resistenza ed una induttanza in serie si concretizza come segue:

${\displaystyle L{\frac {di}{dt}}+Ri=E}$ 

di cui la trasformata risulta

${\displaystyle L[si(s)-i(0+)]+Ri(s)={\frac {E}{s}}}$ 

Risolvendo per i(s), posto i(0+)=0, risulta

${\displaystyle i(s)={\frac {E}{s(sL+R)}}=}$  la cui antitrasformata è

${\displaystyle i={\frac {E}{R}}(1-e^{-{\frac {Rt}{L}}})}$ 

Teorema della Risposta armonica

Dato un ingresso sinuisoidale (armonica) di pulsazione ω (ovvero frequenza f):

${\displaystyle \ x(t)=sin(2*pi*f*t)}$ 

l'uscita del sistema a regime sarà pari all'ingresso alla stessa pulsazione ω (frequenza f) moltiplicato per un guadagno o un'attenuazione pari al modulo della risposta in frequenza e sfasato di un valore pari alla fase della risposta in frequenza:

${\displaystyle \ y(t)=|W(j\omega )|sin(2*pi*f*t+F(W(j\omega )))}$ 

dove è la fase.

Considerazioni

In elettronica e telecomunicazioni la risposta in frequenza è un concetto onnipresente, in quanto ogni stadio di elaborazione di un qualsiasi segnale è identificato proprio grazie alla sua risposta in frequenza. Tipici esempi di questa identificazione sono i filtri elettrici, elettronici o ottici, circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo appunto di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri passa basso, passa banda o passa alto proprio grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di filtri attivi si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli amplificatori lineari e negli amplificatori a retroazione.

Voci correlate

• Rappresentazione dinamica dei segnali
• Rappresentazione spettrale dei segnali
• Sistemi lineari e stazionari
• Regime sinusoidale
• Sistemi lineari dinamici
• Funzione di trasferimento
• Funzione di rete
• Diagramma di Bode

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