Coefficiente multinomiale

Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per un numero intero non negativo ${\displaystyle n,}$ e un vettore intero non negativo ${\displaystyle \mathbf {k} }$ con ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n}$, il coefficiente multinomiale è definito come

${\displaystyle {n \choose \mathbf {k} }:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}}}$

ed è sempre un numero naturale.

Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}}.}$ 

ovvero

${\displaystyle (\sum _{i=1}^{r}x_{i})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}}}$ 

dove ${\displaystyle \sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}}$  indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a ${\displaystyle n}$ .

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

${\displaystyle (\sum _{i=1}^{r}x_{i})^{n}=\sum _{k=n}^{}{{\frac {n!}{\mathbf {k} !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}$ 

con:

${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}}$ 

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r})\in \mathbb {R} ^{r}}$ 

${\displaystyle \mathbf {x} ^{k}=x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\ldots x_{r}^{k_{r}}}$ 

Applicazioni

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi ${\displaystyle n}$  oggetti in ${\displaystyle r}$  scatole, tali che ${\displaystyle k_{1}}$  oggetti stiano nella prima scatola, ${\displaystyle k_{2}}$  nella seconda, e così via.

Analogamente il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di n oggetti, di cui ${\displaystyle k_{1}}$  uguali tra loro, ${\displaystyle k_{2}}$  uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi ${\displaystyle k_{i}}$  essere uguale a 1, e avendosi così ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n}$ .

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:

${\displaystyle P(X_{1}=k_{1},\,X_{2}=k_{2},\,\dots \,,X_{r}=k_{r})\;=\;{n \choose \mathbf {k} }\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}}$ 

una variabile casuale discreta.

Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

${\displaystyle {32 \choose 10,\,10,\,10,\,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640}$ 

Voci correlate

• Calcolo combinatorio
• Coefficiente binomiale
• Probabilità
• Teorema binomiale
• Variabile casuale multinomiale

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