Sistema dinamico lineare stazionario discreto

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In teoria dei sistemi, un sistema dinamico lineare stazionario discreto, anche detto sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto o sistema LTI discreto, è un sistema dinamico discreto lineare e stazionario.

Sistemi a tempo discreto

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso ${\displaystyle \{x\}}$  in un'altra successione ${\displaystyle \{y\}}$ , data dalla convoluzione discreta con la risposta ${\displaystyle h}$  alla delta di Kronecker:

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k]}$ 

Gli elementi di ${\displaystyle \{y\}}$  possono dipendere da ogni elemento di ${\displaystyle \{x\}}$ . Solitamente ${\displaystyle y[n]}$  dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo ${\displaystyle n}$ .

La maggior parte dei segnali a tempo discreto sono ottenuti da un segnale a tempo continuo considerandone il valore assunto in precisi istanti di tempo, solitamente separati da un intervallo temporale fisso ${\displaystyle T}$ . La procedura che permette di ottenere un segnale discreto a partire da uno continuo è detta campionamento, ed è alla base della conversione analogico-digitale (ADC). Essa trasforma una funzione continua ${\displaystyle x(t)}$  nel segnale discreto:

${\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} }$ 

con ${\displaystyle 1/T}$  la frequenza di campionamento. Il teorema del campionamento pone un limite alla massima frequenza del segnale continuo, che non può essere superiore ad ${\displaystyle 1/(2T)}$  se si vuole evitare perdita di informazione (fenomeno di aliasing).

Come nel caso di sistemi a tempo continuo, se ${\displaystyle O}$  è l'operatore di trasformazione al tempo n:

${\displaystyle y[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{x\}}$ 

la successione:

${\displaystyle h[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{\delta [m]\}}$ 

caratterizza completamente il sistema. Per mostrare questo, dato che vale l'identità:

${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k]}$ 

si ha:

${\displaystyle y[n]=O_{n}\{x\}=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k]\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n-k}\{\delta [m]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]}$ 

L'operatore ${\displaystyle O_{n}}$  restituisce un'uscita proporzionale alla media pesata di ${\displaystyle x[k]}$  con funzione peso data da ${\displaystyle h[-k]}$ . Se ${\displaystyle h[k]=0}$  per valori di ${\displaystyle k}$  negativi il sistema è causale.

Funzione di trasferimento

Gli esponenziali del tipo ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$ , con ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ , sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante. Infatti, detto ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$  il periodo di campionamento e ${\displaystyle z=e^{sT}}$ , con ${\displaystyle z,s\in \mathbb {C} }$ , si supponga ${\displaystyle x[n]=\,\!z^{n}}$  l'ingresso del sistema. Se ${\displaystyle h[n]}$  è la risposta impulsiva, si ha:

${\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$ 

La funzione:

${\displaystyle H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$ 

dipende solo dal parametro z, ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione) ${\displaystyle z^{n}}$  del sistema LTI.

La trasformata zeta:

${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$ 

è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure ${\displaystyle e^{j\omega n}}$ , con ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ , che possono essere scritte come ${\displaystyle z^{n}}$ , dove ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$ . Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla trasformata di Fourier a tempo discreto:

${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$ 

Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:

${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}}$ 

Descrizione matematica

Un sistema stazionario o invariante alla traslazione è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo, ma sono costanti. Il processo fisico di cui il sistema ne è il modello è quindi un sistema di equazioni alle differenze a coefficienti costanti:

${\displaystyle x(n+1)=f(x_{0},n_{0},u(n))\ }$ 

${\displaystyle y(n)=h(x_{0},n_{0},u(n))\ }$ 

dove ${\displaystyle x(n),x_{0},u(n),y(n)}$  dove sono vettori colonna composti rispettivamente da:

• Variabili di stato in funzione del tempo n. In generale non possono essere fissate né osservate direttamente.
• Variabili di stato all'istante iniziale ${\displaystyle t_{0}}$ .
• Le variabili in ingresso. Ci possono essere particolari variabili di ingresso, dette disturbi o rumori, su cui non si può agire in alcun modo
• Le uscite, cioè le variabili misurate da cui si deduce, a seconda delle caratteristiche di osservabilità del sistema, il valore o la stima dello stato in funzione del tempo n.

Le funzioni ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle h}$  non dipendono direttamente da n.

Un sistema è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso:

${\displaystyle x(n+1)=A(n)x(n)+B(n)u(n)}$ 

${\displaystyle y(n)=C(n)x(n)+D(n)u(n)}$ 

dove ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$  e ${\displaystyle D}$  sono matrici di dimensioni opportune che premoltiplicano ${\displaystyle x(n)}$  e ${\displaystyle u(n)}$ .

Unendo le precedenti si ottiene il processo LIT, descritto da equazioni matriciali lineari:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array}}\right.}$ 

dove le matrici sono costanti.

Esempio

Ad esempio, volendo analizzare la dinamica del prodotto interno lordo ${\displaystyle P(n)}$  di una nazione, siano ${\displaystyle C(n)}$  i consumi, ${\displaystyle I(n)}$  gli investimenti e ${\displaystyle G(n)}$  le spese per il governo. Se ${\displaystyle P(n)}$  è l'uscita del sistema e ${\displaystyle G(t)}$  l'ingresso, lo stato del sistema è dato dal vettore ${\displaystyle (C(n),I(n)))}$ . Secondo il modello di Samuelson i consumi si possono assumere proporzionali al prodotto interno lordo dell'anno precedente, pertanto si ha:

${\displaystyle C(n)=mP(n-1)}$ 

e quindi ${\displaystyle C(n+1)=mP(n)}$  con 0<m<1 dove m è la propensione marginale al consumo. Inoltre. sempre secondo tale modello gli investimenti sono proporzionali all'incremento di consumo per cui si ha:

${\displaystyle I(n+1)=\mu (C(n+1)-C(n))}$ 

Infine vi è l'equazione di bilancio:

${\displaystyle P(n)=C(n)+I(n)+G(n)}$ 

Risolvendo il sistema si ricava che:

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}m&m\\\mu (m-1)&\mu m\end{array}}\right)\qquad B=\left({\begin{array}{c}m\\m\mu \end{array}}\right)\qquad C=(1\quad 1)\qquad D=(1)\ }$ 

Soluzione del sistema

Si vuole risolvere l'equazione:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array}}\right.}$ 

Si deve valutare per ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$  e pertanto si ha:

${\displaystyle x(1)=Ax(0)+Bu(0)\ }$ 

${\displaystyle x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^{2}x(0)+ABu(0)+Bu(1)\ }$ 

${\displaystyle x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A^{3}x(0)+A^{2}Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)\ }$ 

${\displaystyle x(n)=A^{n}x(0)+A^{n-1}Bu(0)+A^{n-2}Bu(1)+...+Bu(n-1)\ }$ 

Si ottiene:

${\displaystyle x(n)=A^{n}x(0)+\sum _{m=0}^{n-1}A^{m}Bu(n-m-1)\ }$ 

Posto ${\displaystyle l=n-m-1}$  si ha ${\displaystyle m=n-l-1}$ , e quindi la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:

${\displaystyle x(n)=A^{n}x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}A^{n-l-1}Bu(l)}$ 

Occorre distinguere i seguenti casi:

• ${\displaystyle A}$  ammette soltanto autovalori reali con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore.
• ${\displaystyle A}$  ammette soltanto autovalori complessi coniugati.
• ${\displaystyle A}$  ammette sia autovalori reali che complessi coniugati.
• ${\displaystyle A}$  non è diagonalizzabile.

Autovalori reali e molteplicità algebriche e geometriche coincidenti

In tal caso considerata la matrice ${\displaystyle P}$ , n per n, le cui colonne sono gli autovettori di ${\displaystyle A}$  linearmente indipendenti che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiente, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:

${\displaystyle P^{-1}AP=\Lambda \ }$ 

dove ${\displaystyle \Lambda }$  è la matrice diagonale in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di ${\displaystyle A}$  ripetuti eventualemnte ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di ${\displaystyle A}$  sono reali e distinti sulla matrice diagonale ${\displaystyle \Lambda }$  vi saranno gli n autovalori distinti di ${\displaystyle A}$ . Essendo ${\displaystyle A=P\Lambda P^{-1}}$  allora:

${\displaystyle A^{n}=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})...(P\Lambda P^{-1})=P\Lambda ^{n}P^{-1}\ }$ 

pertanto, la soluzione dell'equazione matriciale alle differenzè è:

${\displaystyle x(n)=P\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)\ }$ 

Si nota che la risposta libera nello stato ottenuta ponendo ${\displaystyle u(t)=0}$  è:

${\displaystyle x_{l}(n)=P\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)\ }$ 

mentre la risposta forzata nello stato, ottenuta ponendo ${\displaystyle x(0)=0}$ , è:

${\displaystyle x_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)\ }$ 

Inoltre la risposta libera nell'uscita per ${\displaystyle u(l)=0}$  è:

${\displaystyle y_{l}(n)=CP\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)\ }$ 

mentre la risposta forzata nell'uscita' per ${\displaystyle x(0)=0}$  è:

${\displaystyle y_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}CP\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)+Du(n)\ }$ 

Autovalori complessi coniugati

Volendo analizzare il caso in cui ${\displaystyle A}$  ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che ${\displaystyle A}$  sia una matrice 2 per 2 e siano ${\displaystyle \alpha +j\omega }$  (${\displaystyle j}$  è l'unità immaginaria), ${\displaystyle \alpha -j\omega }$  i due autovalori complessi coniugati di ${\displaystyle A}$ , e siano ${\displaystyle u_{a}+ju_{b}}$ , ${\displaystyle u_{a}-ju_{b}}$  i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:

${\displaystyle (A-(\alpha +j\omega )I)((u_{a}+ju_{b})=0\ }$ 

dove ${\displaystyle I}$  è la matrice identica di dimensione 2, che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma:

${\displaystyle ((A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b})+j((A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}))=0\ }$ 

Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:

${\displaystyle {\begin{array}{c}(A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b}=0\\(A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}=0\end{array}}\ }$ 

che può essere posto nella forma:

${\displaystyle A(u_{a}u_{b})=(u_{a}u_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)}$ 

Pertanto se si pone ${\displaystyle T^{-1}}$  uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:

${\displaystyle TAT^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)}$ 

Rappresentando il numero complesso ${\displaystyle u_{a}+ju_{b}}$  nel piano di Gauss se ${\displaystyle \lambda }$  è il modulo e ${\displaystyle \beta }$  l'argomento si ha:

${\displaystyle \alpha =\lambda \cos \beta }$  e ${\displaystyle \omega =\lambda \;\mathrm {sen} \,\beta }$ 

pertanto:

${\displaystyle A=T^{-1}\lambda \left({\begin{array}{cc}\cos \beta &\;\mathrm {sen} \,\beta \\-\;\mathrm {sen} \,\beta &\cos \beta \end{array}}\right)T}$ 

Si dimostra per induzione che:

${\displaystyle A^{n}=T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta &\;\mathrm {sen} \,n\beta \\-\;\mathrm {sen} \,n\beta &\cos n\beta \end{array}}\right)T}$ 

Pertanto la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:

${\displaystyle x(n)=T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta &\;\mathrm {sen} \,n\beta \\-\;\mathrm {sen} \,n\beta &\cos n\beta \end{array}}\right)Tx(0)+\sum _{l=0}^{n-1}T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos(n-l-1)\beta &\;\mathrm {sen} (n-l-1)\beta \\-\;\mathrm {sen} (n-l-1)\beta &\cos(n-l-1)\beta \end{array}}\right)TBu(l)}$ 

Autovalori reali e autovalori complessi coniugati

Si supponga che la matrice ${\displaystyle A}$  di ordine n ammetta ${\displaystyle k}$  autovalori reali distinti ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k}}$  a cui corrispondono ${\displaystyle k}$  autovettori distinti ${\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{k}}$  allora si hanno le seguenti equazioni:

${\displaystyle {\begin{array}{c}Av_{1}=\lambda _{1}v_{1}\\Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\\...\\Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}\end{array}}}$ 

Si supponga inoltre che la matrice ${\displaystyle A}$  ammetta ${\displaystyle p}$  coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è:${\displaystyle \alpha _{p}+j\omega _{p}}$  e ${\displaystyle \alpha _{p}-j\omega _{p}}$  a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati ${\displaystyle u_{a_{p}}+ju_{b_{p}}}$  e ${\displaystyle u_{a_{p}}-ju_{b_{p}}}$  allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se ${\displaystyle \tau _{p}}$  è il modulo dell'autovalore p-esimo e ${\displaystyle \beta }$  il suo argomento si ha:

${\displaystyle A(u_{a_{p}}u_{b_{p}})=(u_{a_{p}}u_{b_{p}})\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}&\cos \beta _{p}\end{array}}\right)}$ 

Ora posto ${\displaystyle T^{-1}}$  uguale alla matrice le cui colonne sono i ${\displaystyle k}$  autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle ${\displaystyle p}$  coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:

${\displaystyle T^{-1}=(v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{a_{1}},u_{b_{1}},u_{a_{2}},u_{b_{2}},...,u_{a_{p}},u_{b_{p}})}$ 

allora dalle precedenti equazioni si ha la matrice diagonale a blocchi:

${\displaystyle TAT^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{1}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{1}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{1}&\cos \beta _{1}\end{array}}\right),...,\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}&\cos \beta _{p}\end{array}}\right)\right)}$ 

pertanto:

${\displaystyle x_{l}(t)=T^{-1}{\mbox{diag}}\left(\lambda _{1}^{n},\lambda _{2}^{n},...,\lambda _{k}^{n},\tau _{p}^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta _{1}&\;\mathrm {sen} \,n\beta _{1}\\-\;\mathrm {sen} \,n\beta _{1}&\cos n\beta _{1}\end{array}}\right),...,\tau _{p}^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,n\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,n\beta _{p}&\cos n\beta _{p}\end{array}}\right)\right)Tx(0)}$ 

La matrice non è diagonalizzabile

Voci correlate

• Sistema dinamico
• Controlli automatici
• Z-trasformata
• Attrattore
• Equazione differenziale
• Processo ergodico
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Controlli automatici
• Trasformata di Laplace
• Controllabilità di un sistema dinamico.
• Automa (informatica)
• Teoria del caos

Bibliografia

• E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
• A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.
• O.M. Grasselli, Proprietà strutturali dei sistemi lineari e stazionari, Pitagora Editrice, Bologna, 1978

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