Utente:Spock/Sandbox

In matematica, un frattale è un oggetto geometrico in cui la dimensione di Hausdorff (δ) è strettamente superiore alla dimensione topologica. Qui di seguito è presentata una lista di frattali per dimensione di Hausdorff crescente, con lo scopo di visualizzare che cosa significhi per un frattale possedere una dimensione bassa o alta.

Frattali deterministici

δ (valore esatto)	δ (valore approssimato)	Nome	Illustrazione	Commenti
${\displaystyle \textstyle {{\frac {ln(2)}{ln(\delta )}}?}}$	0.4498?	Biforcazioni dell'equazione logistica		Nel diagramma di biforcazione, all'avvicinarsi di ciascuna regione caotica, appare una successione di raddoppiamenti di periodo, in una progressione geometrica tendente a 1/δ. (δ=costante di Feigenbaum=4.6692).
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(2)}{ln(3)}}}$	0.6309	Insieme di Cantor		Costruito eliminando la terza parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, né numerabile.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(6)}{ln(8)}}}$	0.8617	Insieme di Smith-Volterra-Cantor		(In bianco nella figura). Costruito eliminando la quarta parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, ma avente misura di Lebesgue ½.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(8)}{ln(7)}}}$	1.0686	Isola di Gosper
	1.26	Attrattore di Hénon		L'attrattore di Hénon canonico (con parametri a = 1.4 and b = 0.3) possiede dimensione di Haussdorf δ = 1.261 ± 0.003. Parametri differenti conducono a differenti valori di δ.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(3)}}}$	1.2619	Curva di Koch		3 di queste curve formano il fiocco o l'antifiocco di Koch.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(3)}}}$	1.2619	Bordo della Curva Terdragon, Fudgeflake		L-System: simile alla curva del drago con un angolo di 30°. La Fudgeflake è costruita giustapponendoi 3 segmenti iniziali a formare un triangolo.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(3)}}}$	1.2619	Polvere di Cantor in 2D		Insieme di Cantor in due dimensioni .
	1.3057	Setaccio di Apollonio
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(5)}{ln(3)}}}$	1.4649	Scatola frattale		Costruito sostituendo iterativamente ciascun quadrato con una croce di 5 quadrati.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(5)}{ln(3)}}}$	1.4649	Curva di Koch quadratica (tipo 1)		In esso ritroviamo il motivo della scatola frattale (vedi sopra), costruito diversamente.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(8)}{ln(4)}}}$	1.5000	Curva di Koch quadratica (tipo 2)		Chiamata anche "Salsiccia di Minkowski".
	1.5236	Bordo della Curva del Drago		Cf. Chang & Zhang[1]
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(3)}{ln(2)}}}$	1.5850	Albero a 3 rami		Ogni ramo si divide in altri 3 rami. (qui i casi a 90° e 60°). La dimensione frattale dell'intero albero è quella dei rami terminali. NB: l'albero a 2 rami possiede dimensione frattale 1.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(3)}{ln(2)}}}$	1.5850	Triangolo di Sierpinski		Esso è anche il triangolo di Pascal modulo 2.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(3)}{ln(2)}}}$	1.5850	Curva di Sierpinski a punta di freccia	File:Pfeilspitzen fraktal.png	Stesso limite del triangolo di Sierpinski (vedi sopra), ma ottenuto per iterazione di costruito con una curva unidimensionale.
${\displaystyle \textstyle {1+log_{3}(2)}}$	1.6309	Triangolo di Tartaglia modulo 3		In generale, per un triangolo modulo k, se k è primo, la dimensione frattale è ${\displaystyle \scriptstyle {1+log_{k}({\frac {k+1}{2}})}}$ (Cf Stephen Wolfram [2])
${\displaystyle \textstyle {1+log_{5}(3)}}$	1.6826	Triangolo di Tartaglia modulo 5		Come sopra.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(7)}{ln(3)}}}$	1.7712	Fiocco esagonale		Costruito sostituendo iterativamente ogni esagono con un fiocco di 7 esagoni. Il suo bordo è il fiocco di Koch. Contiene infiniti fiocchi di Koch (bianchi e neri).
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(2(1+cos(85^{\circ }))}}}$	1.7848	Curva di Koch a 85°, Frattale di Cesàro		Generalizzazione della curva di Koch con un angolo a scelta tra 0 e 90°. La dimensione frattale è allora ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {ln(4)}{ln(2(1+cos(a))}}}$ . Il Frattale di Cesàro è basato su questo motivo.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(6)}{ln(1+\phi )}}}$	1.8617	Fiocco pentagonale		Costruito sostituendo iterativamente ogni pentagono con un fiocco di 6 pentagoni. ${\displaystyle \phi }$  = sezione aurea = ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(8)}{ln(3)}}}$	1.8928	Tappeto di Sierpinski
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(8)}{ln(3)}}}$	1.8928	Polvere di Cantor in 3D		Insieme di Cantor in 3 dimensioni.
Estimated	1.9340	Bordo della Curva di Lévy		Stimato da Duvall and Keesling (1999). La curva di per se stessa possiede dimensione frattale 2.
	1.974	Tassellatura di Penrose		Vedi Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[3]
${\displaystyle \textstyle {2}}$	2	Insieme di Mandelbrot		Qualsiasi oggetto piano contenente un disco possiede dimensione di Hausdorff δ = 2. Il bordo dell'insieme di Mandelbrot possiede ugualmente dimensione di Hausdorff δ = 2.
${\displaystyle \textstyle {2}}$	2	Curva di Sierpiński		Ogni [[Curva di Peano|curva che riempie il piano possiede dimensione di Hausdorff 2.
${\displaystyle \textstyle {2}}$	2	Curva di Hilbert		Costruita in maniera simile: la curva di Moore
${\displaystyle \textstyle {2}}$	2	Curva di Peano		E una famiglia di curve costruite in maniera simile, come per esempio le curve di Wunderlich o le curve di Moore.
	2	Lebesgue curve or z-order curve		Contrariamente alle curve precedenti, questa è quasi ovunque differenziabile.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(2)}{ln({\sqrt {2}})}}}$	2	Curva del Drago		Il suo bordo possiede dimensione frattale 1,5236 (Cf.Chang & Zhang[1]).
	2	Curva Terdragon		L-System : F-> F+F-F. angolo=120°.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(2)}}}$	2	T-Square
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(2)}}}$	2	Curva di Peano-Gosper		Il suo bordo è l'Isola di Gosper.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(2)}}}$	2	Tetraedro di Sierpinski
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(2)}}}$	2	H-fractal		Ugualmente, l'albero di Mandelbrot, che ha una struttura simile.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(4)}{ln(2)}}}$	2	2D greek cross fractal		Ogni segmento è sostituito da una croce formata da 4 segmenti.
	2.06	Attrattore di Lorenz		Per precisi valori dei parametri dell'attrattore.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(20)}{ln(2+\phi )}}}$	2.3296	Dodecaedro frattale		Ogni dodecaedro è sostituito da 20 dodecaedri.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(13)}{ln(3)}}}$	2.3347	Superficie di Koch quadratica (tipo 1) in 3D		Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica (tipo 1). L'illustrazione mostra la seconda iterazione.
	2.4739	Interstizi delle sfere di Apollonio		Setaccio di Apollonio in 3 dimensioni. Imita la mollica di pane o la spugna. Dimensione calcolata da M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert [4].
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(32)}{ln(4)}}}$	2.50	Superficie di Koch quadratica (tipo 2) in 3D		Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica(tipo 2). L'illustrazione mostra la prima iterazione.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(16)}{ln(3)}}}$	2.5237	Ipercubo di Cantor		Insieme di Cantor in 4 dimensioni. In generale, in uno spazio di dimensione n, l'insieme di Cantor possiede dimensione di Hausdorff ${\displaystyle \scriptstyle {n{\frac {ln(2)}{ln(3)}}}}$
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(12)}{ln(1+\phi )}}}$	2.5819	Icosaedro frattale		Ogni icosaedro è sostituito da 12 icosaedri.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(6)}{ln(2)}}}$	2.5849	Frattale a croce greca in 3D		Ogni segmento è sostituito con una croce formata da 6 segmenti. Estensione tridimensionale della croce in due dimensioni.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(6)}{ln(2)}}}$	2.5849	Ottaedro frattale		Ogni ottaedro è sostituito da 6 ottaedri.
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(20)}{ln(3)}}}$	2.7268	Spugna di Menger		La sua superficie possiede dimensione frattale ${\displaystyle \scriptstyle {{\frac {ln(12)}{ln(3)}}=2.2618}}$ .
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(8)}{ln(2)}}}$	3	Curva di Hilbert in 3D		Estensione tridimensionale della curva di Hilbert.

Frattali casuali e naturali

δ (valore esatto)	δ (valore appprossimato)	Nome	Illustrazione	Commenti
Misurato	1.24	Costa della Gran Bretagna
${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{3}}}$	1.33	Bordo del moto browniano		(Cf Gregory Lawler, Oden Schramm et Wendelin Werner[5]).
${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{3}}}$	1.33	Polimero 2D		Simile al moto browniano in 2D senza auto-intersezioni. (Cf Sapoval[6])..
${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{3}}}$	1.33	Percolation front in 2D, Corrosion front in 2D		Fractal dimension of the percolation-by-invasion front, at the percolation threshold (59.3%). It’s also the fractal dimension of a stopped corrosion front (Cf Sapoval[6])..
	1.40	Clusters of clusters 2D		When limited by diffusion, clusters combine progressively to a unique cluster of dimension 1.4. (Cf Sapoval[6]).
Misurato	1.52	Costa della Norvegia
Misurato	1.55	Camminata casuale senza intersezioni	File:2D self-avoiding random walk.png	Camminata casuale in un recinto quadrato, con un algoritmo di "ritorno indietro" per evitare vicoli ciechi.
${\displaystyle \textstyle {\frac {5}{3}}}$	1.66	Polimero 3D		Similar to the brownian motion in a cubic lattice, but without self-intersection (Cf Sapoval[6])..
	1.70	2D DLA Cluster		In 2 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 1.70 (Cf Sapoval[6])..
${\displaystyle \textstyle {\frac {91}{48}}}$	1.8958	2D Percolation cluster		Under the percolation threshold (59.3%) the percolation-by-invasion cluster has a fractal dimension of 91/48 (Cf Sapoval[6]). Beyond that threshold, le cluster is infinite and 91/48 becomes the fractal dimension of the « clearings ».
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(2)}{ln({\sqrt {2}})}}}$	2	Moto browniano		O camminata casuale. le dimensioni di Hausdorff sono uguali a 2 in 2D, in 3D e in tutte le altre dimensioni (K.Falconer "The geometry of fractal sets").
${\displaystyle \textstyle {\frac {ln(13)}{ln(3)}}}$	2.33	Cavolfiore		Ogni ramo porta 13 rami 3 volte più piccoli.
	2.5	Balls of crumpled paper		When crumpling sheets of different sizes but made of the same type of paper and with the same aspect ratio (for example, different sizes in the ISO 216 A series), then the diameter of the balls so obtained elevated to a non-integer exponent between 2 and 3 will be approximately proportional to the area of the sheets from which the balls have been made. [4] Creases will form at all size scales (see Universality (dynamical systems)).
	2.50	3D DLA Cluster	File:3D diffusion-limited aggregation2.jpg	In 3 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 2.50 (Cf Sapoval[6]).
	2.97	Superficie polmonare		Gli alveoli di un polmone formano una superficie frattale di dimensione vicina a 3 (Cf Sapoval[6]).

Note

1. Dimension fractale de la courbe du dragon
2. ^ [http://www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca/84-geometry/1/text.html
3. ^ [1]
4. ^ [2]
5. ^ G. F. Lawler, O. Schramm, W. Werner, The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [3] (PDF)
6. Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, collection Champs (2001), ISBN 2080814664

Bibliografia

• ¹Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990)
• Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (September 1982).
• Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0 (August 1988)
• Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0
• Bernard Sapoval, « Universalités et fractales », collection Champs, Flammarion.

Voci correlate

• Frattale
• Dimensione frattale
• Dimensione di Hausdorff
• Invarianza di scala

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Collegamenti esterni

• The fractals on Mathworld
• Other fractals on Paul Bourke's website
• Soler's Gallery
• Fractals on mathcurve.com
• 1000fractales.free.fr - Project gathering fractals created with various softwares
• Fractals unleashed