Matteo.Bertini

Bozza traduzione Eigenfunction

In matematica, una autofunzione f di un operatore lineare A su uno spazio funzionale è un autovettore dell'operatore lineare; soddisfa la relazione

${\displaystyle {\mathcal {A}}f=\lambda f}$ 

for some scalar λ, the corresponding eigenvalue. The existence of eigenvectors is typically a great help in analysing A.

For example, ${\displaystyle f_{k}(x)=e^{kx}}$  is an eigenfunction for the differential operator

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {d}{dx}},}$ 

for any value of ${\displaystyle k}$ , with a corresponding eigenvalue ${\displaystyle \lambda =k^{2}-k}$ .

Eigenfunctions play an important role in quantum mechanics, where the Schrödinger equation

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\mathcal {H}}\psi }$ 

has solutions of the form

${\displaystyle \psi (t)=\sum _{k}e^{-iE_{k}t/\hbar }\phi _{k},}$ 

where ${\displaystyle \phi _{k}}$  are eigenfunctions of the operator ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  with eigenvalues ${\displaystyle E_{k}}$ . Due to the nature of the hamiltonian operator ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ , its eigenfunctions are orthogonal functions. This is not necessarily the case for eigenfunctions of other operators (such as the example ${\displaystyle A}$  mentioned above).

Eigenfunktionen in der Mathematik sind Funktionen, die bei Anwendung eines Operators das Eigenwertproblem dieses Operators lösen.

Sei A ein Operator und f eine Funktion. Dann stellen in der Gleichung:

${\displaystyle A(f_{n})=a_{n}f_{n}}$ 

a_n die Eigenwerte des Operators A und f_n die zu ihnen gehörigen Eigenfunktionen dar.

Für Nichtmathematiker:

Wenn man sich vorstellt, dass eine Funktion durch einen einfachen Pfeil repräsentiert wird, dann kann man die Funktion auf mehrere Arten verändern: Man kann ihn (sie) verschieben, verdrehen und die Länge verändern, und zwar auch in einem einzigen Schritt.

Das Werkzeug, das eine solche Veränderung bewirkt, nennt man "Operator".

Nun kann man sich vorstellen, dass man mit verschiedenen Werkzeugen auf einen Pfeil einwirkt, oder dass man mit einem Werkzeug verschiedene Pfeile bearbeitet.

Einige Zusammenstellungen von Pfeil und Werkzeug haben nun die besondere Eigenschaft, dass sie nur die Länge verändern. Da nun z.B. in der Physik, aber auch in der Technik (Maschinenbau), viele Aufgaben genau auf solche Pfeil/Werkzeug-Kombinationen führen, bietet die Mathematik mit den "Eigenwertproblemen" einen maßgeschneiderten Werkzeugkasten an.

Hat man also ein Werkzeug "Operator", das einen Pfeil "Funktion" lediglich um einen Längenfaktor "Wert" verändert, so ist sie "Eigenfunktion" mit "Eigenwert" zum Operator.

Ein wichtiges Anwendungsfeld ist die Quantenmechanik.

Warum man eine mathematische Funktion als Pfeil darstellen kann, und damit sogar etwas anzufangen ist, ist eine andere Geschichte.

Siehe auch: Sturm-Liouville-Problem, Operator (Mathematik)